Numerik (Teori Peluang, Permutasi, dan Kombinasi) Materi TIU CPNS
Saat kita bermain dadu, angka
berapa yang sering kita harapkan? Tentunya kita berharap mendapat angka enam
agar bisa bermain lagi bukan? Seberapa besar kemungkinan angka enam tersebut
bisa kita dapatkan? Disinilah salah satu penerapan teori peluang yang akan kita
pelajari. Peluang adalah harapan terjadinya suatu kejadian. Sedangkan sampel
merupakan himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian.
Dalam hal ini sampel merupakan keenam mata dadu tersebut (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Berikut adalah rumus dari
peluang :
Dari rumus diatas maka kita sudah dapat megetahui berapa peluang kita untuk mendapatkan mata dadu enam tersebut. Jumlah sisi dadu yang kita harapkan hanyalah satu dari total enam sisi dadu, yaitu yang memiliki angka enam. Maka peluang untuk mendapatkan sisi dadu tersebut adalah :
Frekuensi Harapan
Frekuensi Harapan (fh) dari
suatu kejadian adalah banyaknya kemunculan kejadian yang dimaksud dalam
beberapa kali percobaan.
Atau dirumuskan seperti:
Atau dirumuskan seperti:
Bila kita melempar dadu sebanyak 12 kali percobaan, maka berapa kali kemungkinan munculnya mata dadu enam? Dalam hal ini kita dapat memakai rumus frekuensi harapan dengan menggunakan peluang yang sudah kita dapatkan sebelumnya.
fh= 1/6 x 12 =
2
Maka peluang untuk mendapat mata
dadu enam adalah dua kali.
Batas-Batas
Nilai Peluang
Jika P(A) = 0, maka kejadian
tersebut tidak pernah terjadi atau suatu kemustahilan.
Jika P(A) = 1, maka kejadian
tersebut merupakan kepastian.
Jika A adalah suatu kejadian
yang terjadi, dan A’ adalah suatu kejadian dimana A tidak terjadi, maka :
P(A) + P(A’) = 1
Permutasi
dan Kombinasi
Sebelum mengetahui pengertian
permutasi dan kombinasi ada baiknya kita terlebih dahulu mengetahui pengertian
dari faktorial. Sebab setiap penghitungan permutasi dan kombinasi tidak
terlepas dari penghitungan faktorial.
Faktorial adalah perkalian suatu
bilangan bulat positif dengan semua bilangan bulat positif lain yang kurang
dari bilangan bulat tersebut.
Lambang faktorial berupa tanda
seru (!).
n ! = n x ( n – 1 ) x ( n – 2 )
x … x 3 x 2 x 1
Contoh :
3! = 3 x 2 x 1
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
3! = 3 x 2 x 1
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Permutasi
Permutasi diartikan sebagai
sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek menjadi beberapa urutan berbeda tanpa
mengalami pengulangan. Di dalam permutasi, urutan sangat diperhatikan. setiap
objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. kita ambil
contoh, urutan huruf {ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan {BAC) dan
{ACB}.
Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur jika disusun pada unsur k di mana k ≤ n adalah :
Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur jika disusun pada unsur k di mana k ≤ n adalah :
Permutasi dapat berupa permutasi
siklis maupun permutasi berulang sebagai berikut.
- Permutasi siklis
Permutasi siklis adalah jenis permutasi yang beranggapan bahwa susunan benda berbentuk lingkaran. Dengan kata lain, permutasi siklis digunakan untuk melihat banyaknya penyusunan benda yang disusun secara melingkar. - Permutasi berulang
-
Permutasi berulang adalah jenis permutasi yang dalam penyusunannya urutan
diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali sehingga ada
perulangan. Banyaknya permutasi adalah :
dimana :
n = banyaknya objek yang dapat dipilih
r = jumlah yang harus dipilih
Kombinasi
Kombinasi merupakan sebuah
kumpulan dari sebagian atau seluruh objek dengan tidak memperhatikan urutannya.
di dalam kombinasi, {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi
dari dua objek yang sama tidak dapat terulang.
Rumus kombinasi dari suatu
himpunan yang mempunyai n elemen dapat dituliskan sebagai berikut :