Persamaan Linier Tiga Variabel

Persamaan Linier Tiga Variabel

Persamaan linear tiga variable (PLTV) adalah persamaan linear yang memiliki tiga variabel dengan pangkat masing-masing variabel adalah satu.

PLTV memiliki bentuk umum :

ax + by + cz = d dengan a,b,c ≠ 0

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLDV) adalah tiga buah persamaan linear tiga variabel yang mempunyai keterkaitan dan memiliki konsep penyelesaian yang sama.

Bentuk umum dari sistem ini adalah:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₁

x, y dan z disebut variabel
a, b dan c disebut koefisien
d disebut konstanta

SPLTV dapat diselesaikan dengan beberapa cara, namun bab ini akan lebih berfokus pada dua cara yang paling umum dan mudah digunakan yaitu metode subtitusi dan metode eliminasi. Penjelasan terkait kedua cara tersebut sudah ada pada bab sebelumnya. Proses penyelesaiannya hampir sama dengan SPLDV, hanya saja SPLTV lebih rumit dan kompleks sehingga dibutuhkan ketelitian yang lebih.

Ciri–Ciri Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sebuah persamaan disebut sebagai sistem persamaan linear tiga variabel jika persamaan tersebut mempunyai karakteristik seperti berikut ini:

• Memakai relasi tanda sama dengan (=)
• Mempunyai tiga variabel
• Ketiga variabel tersebut mempunyai derajat satu (berpangkat satu)

Hal–Hal yang Berhubungan dengan SPLTV

Ketiga komponen tersebut yaitu: suku, variabel, koefisien dan konstanta. Berikut ini merupakan penjelasan dari masing-masing komponen SPLTV tersebut.

1.  Suku

Suku merupakan sebuah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri atas variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan menggunakan tanda baca penjumlahan maupun pengurangan.

Contoh:

6x – y + 4z + 7 = 0, maka suku–suku dari persamaan tersebut yaitu 6x , -y, 4z dan 7.

2. Variabel

Variabel merupakan peubah atau pengganti dari suatu bilangan yang pada umumnya dilambangkan dengan pemakaian huruf seperti x, y dan z.

Contoh:

Yulisa mempunyai 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Apabila kita tulis dalam bentuk persamaan maka:

Contoh: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu 2x + 5y + 6z.

3. Koefisien

Koefisien merupakan sebuah bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis.

Koefisien disebut juga sebagai bilangan yang terdapat di depan variabel, sebab penulisan dari suatu persamaan koefisien berada di depan variabel.

Contoh:

Gilang mempunyai 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Apabila kita tuliskan ke dalam bentuk persamaan maka:

Contoh: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu 2x + 5y + 6z.

Dari persamaan tersebut, maka dapat diketahui bahwa 2, 5 dan 6 merupakan koefisien di mana 2 merupakan koefisien x , 5 merupakan koefisien y serta 6 merupakan koefisien z.

4.  Konstanta

Konstanta merupakan sebuah bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga akan mempunyai nilai yang tetap atau konstan untuk berapa pun nilai variabel atau peubahnya.

Contoh:

2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstantanya yaitu 7. Sebab, 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapa pun variabelnya

TIPS :

• Cara terbaik menyelesaikan SPLTV dengan metode Eliminasi-Substitusi (gabungan).
• Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dengan metode gabungan:
• Eliminasi variabel pertama dengan memasang-masangkan dua persamaan dari ketiga persamaan sehingga diperoleh SPL baru yang sederhana.
• Dari SPL baru, eliminasi lagi sehingga diperoleh nilai dari salah satu variabel yang ada.
• Dari nilai variabel yang telah ada, substitusikan ke persamaan sebelumnya untuk memperoleh nilai variabel yang lainnya.

Pengaplikasian

Sama seperti PLSV dan SPLDV, SPLTV juga terdapat penerapannya dalam kehidupan sehari-hari namun lebih kompleks. Soal yang diberikan pun biasanya dalam bentuk soal cerita. Untuk itu kita harus dapat mengolah terlebih dahulu soal cerita tersebut menjadi bentuk persamaan, lalu menyelesaikannya.

Contoh Soal :

Sejumlah uang tediri dari koin pecahan 500-an, 200-an dan 100-an dengan total nilai Rp 100.000. Jika total uang pecahan 500-an setengah dari total uang pecahan 200-an, tetapi 3 kali total uang pecahan 100-an, maka banyaknya koin pecahan adalah ...
A.    300
B.    360
C.    460
D.    500

misalnya :
a = koin pecahan 500-an
b = koin pecahan 200-an
c = koin pecahan 100-an

maka :

• 500a +200b + 100c = 100.000
  5a + 2b + c = 1.000
• a = 1/2 b → b = 2a
• a = 3c → c = 1/3 a

Kumpulan Contoh Soal SPLTV

Contoh Soal 1 :

Rara memiliki 4 buah apel, 8 buah mangga dan 12 buah jeruk. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka hasilnya adalah :

Penyelesaian :

Apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu = 4x + 8y + 12z.

Jadi, bentuk persamaan nya adalah = 4x + 8y + 12z.

Contoh Soal 2 :

Pandu  memiliki 5 buah mangga, 16 buah salak dan 20 buah lemon. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka hasilnya adalah :

Penyelesaian :

Apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu = 5x + 16y + 20z.

Jadi, bentuk persamaan nya adalah = 5x + 16y + 20z.

Berbagi :