Geometri Ruang Lengkap

GEOMETRI RUANG

A. Pengertian Geometri Ruang

Geometri merupakan bagian matematika yang membahas tentang bentuk dan ukuran dari suatu obyek yang memiliki keteraturan tertentu (Clemens, 1985).

Sebuah bangun ruang, dalam konteks geometri ruang, adalah himpunan semua titik, garis, dan bidang dalam ruang berdimensi tiga yang terletak dalam bagian tertutup beserta seluruh permukaan yang membatasinya.

Lebih jauh, yang dimaksud dengan bangun ruang dengan sisi datar adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang datar. Bangun ruang dengan sisi datar disebut juga sebagai bidang banyak atau polihedron yang berasal dari bahasa Yunani polys yang berarti banyak dan hedron yang berarti permukaan. Bidang-bidang datar pembatas bangun ruang dinamakan sebagai bidang sisi. Ruas garis yang terbentuk oleh perpotongan antara dua bidang sisi bangun ruang disebut rusuk. Ujung-ujung dari rusuk ini dinamakan sebagai titik sudut.

B. Jenis Bangun Ruang

1. Hasil Putaran

Bangun ruang yang termasuk bangun hasil putaran dimana Suatu bangun datar yang salah satu sisi nya menjadi sumbu putar dan diputar 360⁰ maka akan membentuk suatu bangun ruang.

a. Silinder

Silinder atau seringkali disebut tabung. Silinder ini bentuknya menyerupai pipa, hanya saja memiliki alas dan tutup yang sama besar dan berbentuk lingkaran. Dalam kehidupan nyata, kita bisa lihat bentuk dasarnya yang menjelma sebagai lilin, kapur tulis, kue kastengles, tabung reaksi, lontong, lemper, dan lain sebagainya.

Secara keseluruhan, bangun ruang Silinder ini memiliki karakteristik sebagai berikut:

· Silinder hanya memiliki 2 buah rusuk saja.

· Alas dan tutup atau disebut juga atapnya memiliki bentuk lingkaran.

· Memiliki 3 bidang sisi, yakni selimut yang merupakan sebuah segi empat atau persegi, dan 2 bidang sisi yang berbentuk lingkaran yang memiliki luas yang sama.

Rumus silinder:

· Volumenya =luas alas x tinggi

=πr²x t

πd² x t

· Luas tabung = 2 x luas alas + luas selimut

=2 x πr²+ 2 πrt

b. Bola

Bentuknya yang unik membuat bola bisa digerakan ke segala arah dengan menggelindingkannya, tidak seperti silinder yang hanya ke satu sisi saja dan bersifat satu arah. Bentuknya dapat kita lihat dari bermacam benda seperti berbagai jenis bola dalam permainan olah raga, bola-bola cokelat, kelereng, permen, cokelat, dan lain sebagainya.

Bola juga sebagai salah satu bentuk ruang memiliki karakteristik lain yang membuat bola berbeda dengan bentuk-bentuk bangun ruang lainnya, yaitu terdiri dari 1 bidang sisi saja. Bola tidak memiliki rusuk dan juga sudut.

Rumus Bola:

· Volume = 4 x volume kerucut

= 4 x

πr² x t

Pada bola t = r, sehingga:

V = 4 x

πr² x r

πr³

· Luas = 4 x luas lingkaran

= 4 πr²

c. Kerucut

Contoh dalam kehidupan sehari-harian mulai dari bentuk kerucut pada terompet, caping pak tani, tumpeng untuk selametan, dan lain sebagainya.

Kerucut sebagai bangun ruang ini memiliki karakter sebagai berikut:

· Memiliki 2 buah bidang sisi, yaitu 1 buah bidang sisi yang berbentuk lingkaran dan 1 buah bidang sisi yang dinamakan selimut.

· Memiliki 2 buah rusuk dan sebuah titik sudut yag terletak di titik teratas pada bangun ruang ini.

Rumus kerucut:

· Volumenya:

x t x π (r²),

· Luas Kerucut: luas alas + luas selimut

πr² + πrs = πr (r+s)

2. Bukan Hasil Putaran

a. Kubus

Kubus adalah salah satu bangun ruang yang sederhana dan sering kita temukan dalam kehidupan nyata. Kita dapat melihat contohnya dalam wujud kotak kado, kotak mainan, kotak kapur tulis, kotak pos dan lain sebagainya yang berbentuk dasar kubus. Kubus memiliki beberapa ciri yang membuat bangun ruang ini dinamakan kubus. Ciri-cirinya, yaitu:

· Kubus memiliki 6 buah sisi (S) yang berbentuk persegi atau bujur sangkar. Dinamakan persegi atau bujur sangkar karena sisi-sisi nya ini memiliki ukuran yang sama panjang. Dalam bangun ruang, sisi-sisi persegi ini dinamakan rusuk. Itulah sebabnya kubus secara keseluruhan memiliki 12 buah rusuk yang sama panjang yang merupakan salah satu ciri yang dapat membedakannya ketika dibandingkan dengan bangun ruang yang lain.

· Kubus memiliki 8 buah titik sudut. Jika kita perhatikan sudut-sudutnya memiliki bentuk sudut siku-siku. Jumlah diagonal yang dimilikinya yaitu 4 buah diagonal ruang, sedangkan 12 diagonal lainnya adalah diagonal bidang.

Rumus Kubus:

· Volumenya = s x s x s

= s³

· Luasnya = 6 x s²

b. Balok

Selain karena bentuknya juga yang sederhana, balok juga banyak terdapat dalam kenyataan. Beberapa contoh penampakannya, yaitu berbagai kotak mainan, tempe, keju chedar, cokelat, penghapus, bangunan perkantoran atau pertokoan, dan lain sebagainya yang bentuk dasarnya tiada lain adalah Balok.

Ciri-ciri yang dimiliki Balok antara lain:

· Memiliki alas yang berbentuk segi empat.

· Memiliki 12 buah rusuk.

· Dibangun oleh 6 buah sisi.

· Memiliki 8 buah titik sudut yang berbentuk siku-siku.

· Memiliki 4 buah diagonal ruang dan 12 buah diagonal bidang.

Rumus balok:

· Volumenya: panjang x lebar x tinggi

· Luasnya: 2 x {(panjang x lebar) + (panjang x tinggi) + (lebar x tinggi)},

c. Prisma

Prisma adalah bidang banyak yang dibentuk oleh dua daerah polygon kongruen yang terletak pada bidang sejajar, dan tiga atau lebih daerah jajaran genjang yang ditentukan oleh sisi-sisi dua daerah polygon tersebut sedemikian hingga membentuk permukaan tertutup sederhana. Dua daerah polygon kongruen yang terletak pada bidang sejajar dapat berupa segitiga, segiempat, segilima, dan lain-lain. Dan jika dua polygon tersebut berbentuk menyerupai lingkaran akan disebut tabung (silinder). Berikut berturut-turut adalah gambar prisma segitiga, prisma segiempat, dan prisma segilima.

1) Prisma Segitiga

Penampakan bangunan ini mirip dengan Silider, hanya saja untuk Prisma tegak segitiga siku-siku ini memiliki alas dan atap yang berbentuk segitiga Siku-siku sehingga bentuk ruangnya menjadi berbeda dengan tabung karena lebih kaku. Wujud nyatanya dapat kita lihat pada kotak kado, atap rumah, kotak cokelat, dan lain sebagainya.

Karakteristik dari bangun ruang ini antara lain:

· Memiliki 6 buah titik sudut.

· Memili 5 sisi

· Dibentuk dengan 9 buah rusuk.

· Memiliki 2 bidang sisi yang berbentuk segitiga siku-siku dan 3 buah bidang sisi yang berbentuk segi empat.

2) Prisma segi empat

Sering disebut dengan balok.

Karakteristik yang dimiliki:

· Alas ada sisi bagian atas berbentuk segi empat.

· Memiliki 6 buah sisi, 4 diantaranya adalah sisi tegak.

· Memiliki 12 buah rusuk.

· Memiliki 8 titik sudut.

3) Prisma segi lima

Karakteristik yang dimiliki :

· Mempunyai bidang alas dan bidang atas berupa segilima yang kongruen.

· Mempunyai 7 sisi , 15 rusuk, dan 10 titik sudut

Rumus prisma:

· Volume = Luas alas x tinggi prisma

· Luas = 2 x luas alas + luas selubung

Dengan luas selubung = keliling alas x tinggi prisma

d. Limas

Limas merupakan sebuah bangun ruang yang memiliki bentuk yang tak kalah unik karena mengerucut di satu titik pusat seperti kerucut. Perbedaannya adalah bentuk dari alasnya. Limas alasnya berbentuk segi empat atau segitiga, sedangkan kerucut bentuk alasnya lingkaran. Itulah sebabnya ada 2 jenis limas sebagai bentuk ruang yang disebut berdasarkan bentuk alasnya, yaitu limas segi empat dan limas segitiga.

Limas segi tiga

Luas permukaan limas merupakan gabungan dari luas alas dengan luas segitiga-segitiga yang membentuknya (menggunakan rumus yang beruhubungan sesuai dengan bentuknya).

Limas segitiga memiliki karakteristik yang membedakannya dengan bangun ruang lain, yaitu:

· Alasnya terdiri dari sebuh segitiga.

· Memiliki sebuah alas dan 3 sisi tegak.

· Memiliki 4 buah titik sudut.

· Memiliki 6 buah rusuk yang membentuknya menjadi bangun ruang.

Rumus:

· Volume limas adalah =

x (