Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Widget Atas Posting

Bilangan Bulat Lengkap


  
A.  Sejarah Bilangan Bulat
         Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri atas bilangan positif,bilangan nol dan bilangan bulat negatif.Bilangan positif dan negatif ini mulai dikenal pada zaman Cina kuno .Pada masa itu, bangsa Cina mempunyai dua jenis warna untuk perhitungan bilangan-bilangan tersebut, yaitu merah untuk bilangan – bilangan positif dan hitam untuk bilangan-bilangan negatif. Hingga abad ke-16, bilangan-bilangan negatif jarang ditemukan diluar Cina.
         Sejarah bilangan bulat dapat juga dimulai dari sejarah bilangan.Sejarah bilangan dimulai dari bilangan asli.Bilangan asli merupakan bilangan pertama yang dikenal manusia.Hal ini karena secara alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan tertentu mereka harus menghitungnya. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang digunakan adalah bilangan asli,walaupun mereka tidak menyadari bahwa bilangan yang mereka gunakan untuk menghitung bilangan asli. Penamaan bilangan asli dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan ilmu pengetahuan. Notasi himpunan bilangan asli adalah . Anggota bilangan asli adalah N={1,2,3,…}.Karena untuk keperluan operasi hitung bilangan asli diperluas dengan menyertakan 0 sebagai anggota.Perluasan ini dikenal sebagai bilangan cacah. Pada perkembangan selanjutnya, bilangan cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya merepresentasikan obyek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang memiliki utang. Keadaan pertama dapat ditulis dengan bilangan asli, sedangkan keadaan kedua bisa  ditulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan membawa  pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.
           Bilangan negatif untuk menyatakan hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan cacah. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4 = 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan kebalikan , maka 4 – 6 = -2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk bilangan bulat.



B.    Pengertian Bilangan Bulat
          Pengertian bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan bilangan negatif.
Bilangan cacah = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,  ...
Bilangan negatif = -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9,  ....
Jadi bilangan bulat terdiri dari  ... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Semua bilangan dapat dikatakan sebagai bilangan bulat jika bilangan itu tidak ada tanda koma (,) dan pecahan. Notasi himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan Z (yang berasal dari kata Zahlen, bahasa Jerman yang artinya bilangan). Sebagai contoh:
 Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.
Hubungan bilangan nol, bilangan asli, bilangan cacah dapat di symbolisasikan difisualisasikan menggunakan garis bilangan.
Ilustrasi
Bilangan bulat positif berada di sebelah kanan titik nol dan bilangan bulat negatif berada disebelah kiri nol.
               Dari gambar di atas kamu akan menemukan bahwa semakin ke kanan, bilangan bulat pada garis bilangan tersebut semakin besar, sebaliknya semakin ke kiri, bilangan bulat pada garis bilangan semakin kecil. Misalnya:

·            -2 terletak di sebelah kiri 0 sehingga -2 < 0;
·            0 terletak di sebelah kanan -1 sehingga 0 > -1;
·            -5 terletak di sebelah kiri -3 sehingga -5 < -3;
·            -4 terletak di sebelah kanan -6 sehingga -4 > -6.

              Setiap bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan bilangan bulat
Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan menghasilkan nilai nol.
a + (-a) = 0
Misalnya :

·           Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 0
·           Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 0
·           Lawan dari -2 adalah 2, sebab -2 + 2 = 0
·           Lawan dari 3 adalah -3, sebab 3 + (-3) = 0
C.    Operasi Pada Bilangan Bulat
Seperti halnya pada bilangan cacah, ada 4 macam operasi utama yang berlaku pada bilangan bulat.Operasi yang dimaksud adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.Keempat operasi pada bilangan bulat ini sangat erat hubungannya dengan operasi pada bilangan cacah.Oleh sebab itu, maka dituntut untuk memahami keempat bilangan bulat.
1.     Operasi Penjumlahan
               Penjumlahan Bilangan Bulat
a.         Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif 
Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif selalu menghasilkan bilangan positif.Contohnya: 2 + 5= 7
b.         Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif 
Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif akan menghasilkan:
1)        Bilangan bulat negatif, jika angka bilangan bulatt negatif lebih besar daripada angka bilangan bulat positif.Contoh:3 + (-5)= -2
Catatan: + x - = -
2)        Bilangan nol, jika angka bilangan bulat positif sama dengan angka bilanganbulat negatif.
3)        Bilangan bulat positif, jika angka bilangan bulat positif lebih besar daripadaangka bilangan negatif. Contoh: 4 + (-2)= 2
c.         Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif
Contoh: -5 + 2 = -3
d.         Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negative
Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif selalumenghasilkan bilangan bulat negatif.Contoh:  -3 + (-2)= -5

2.      Pengurangan Bilangan Bulat

a.         Pengurangan bilangan bulat positif dengan positif 
 Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif akanmenghasilkan:
1)        Bilangan bulat positif, jika angka bilangan yang dikurangi lebih besar daripada angka yang mengurangi.Contoh:
       5 – 3= 2
2)        Bilangan nol, jika angka bilangan yang dikurangi sama dengan angkabilangan yang mengurangi.Contoh:
        3 – 3= 0
3)        Bilangan bulat negatif, jika angka bilangan yang mengurangi lebih besardaripada bilangan yang dikurangi.Contoh:
        2 –5= -3
b.      Pengurangan bilangan bulat negatif dengan negatif 
 Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif akan menghasilkan:
1)    Bilangan bulat positif, jika angka bilangan yang mengurangi lebih besardaripada angka bilangan yang dikurangi.
                          Contoh:-2 – (-4) = 2
2)   Bilangan nol, jika angka bilangan yang dikurangi sama dengan angkabilangan yang mengurangi.Contoh:-3 – (-3) = 0
3)   Bilangan bulat negatif, jika angka bilangan yang dikurangi lebih besardaripada angka bilangan yang mengurangi.Contoh:-5 –(2) = -3
c.       Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif
Contoh: -5 – 6 = -11
d.      Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif 
Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif akan selalumenghasilkan bilangan bulat negatif. Contoh:-3 –5= -8

3.      Perkalian Bilangan Bulat
a.    Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif 
Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif akan selalu menghasilkan bilangan bulat positif. a x b = ab
Contoh:7 x 6 = 6 x 7 = 42.
b.    Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif 
  Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif akan selalumenghasilkan bilangan bulat negatif. a x (-b) = -ab
       Contoh:-4 x 3 = -12
c.    Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif 
  Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif akan selalumenghasilkan bilangan bulat positif. -a x (-b) = ab
      Contoh:-4 x (-5) = 20

4.      Pembagian Bilangan Bulat
a.        Pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif 
Pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif akan selalu  menghasilkan bilangan bulat positif.Contoh: 8 : 2 = 4
b.       Pembagian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif 
Pembagian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif akan selalumenghasilkan bilangan bulat negatif.Contoh:-10 : -5 = 2
c.        Pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif 
Pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif akan selalumenghasilkan bilangan bulat negatif.Contoh: 6 : -2 = -3
d.       Pembagian bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi
a : 0 tidak terdefinisi (~)0 : a 0 (nol) Contoh: 5 : 0 = ~ (tidak terdefinisi)




D.    Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat

1.    Penjumlahan
a.          Sifat Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c)Contoh:(5 + 3) + 4 = 5 + (3 + 4)
b.         Sifat Komutatif a + b = b + aContoh7 + 2 = 2 + 7 = 9
c.          Unsur identitas terhadap penjumlahan a + 0 = 0 + aContoh:6 + 0 = 0 + 6
d.         Unsur invers terhadap penjumlahan a + (-a) = -a + aContoh:5 + (-5) = -5 + 5 = 0
e.          Bersifat tertutup
          Apabila dua buah bilangan ditambahkan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga.
a dan b ϵ bilangan bulat maka a + b = c ; c ϵ bilangan bulat contoh: 4 + 5 = 9 ; 4,5,9 ϵ bilangan bulat.

2.    Pengurangan
a.       Sifat komutatif dan asosiatif tidak berlaku
a – b ≠ b – a
contoh: 7 – 3 ≠ 3 - 7
b.      Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat
a – 0 = a dan 0–  a = -a
c.       Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalahbilangan bulat juga.
a dan b ϵ bilangan bulat, maka a  –b = c ; c ϵ bilangan bulat
contoh: 7 – 8 = -1 ; 7,8, -1 ϵ bilangan bulat

3.      Perkalian
a.       Bersifat asosiatif (a x b) x c = a x (b x c)  Contoh: (2 x 3) x 4 =2 x (3 x 4) = 24 
b.      Sifat komutatif a x b = b x aContoh: 5 x 4 = 4 x 5 = 20
c.       Sifat distributive A x (b + c) = (a x b) + (a x c) Contoh: 3 x (2 + 6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24
d.      Unsur identitas untuk perkalian
·           Hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol
a x 0 = 0
·           Hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya bilangan itu juga
a x 1 = 1 x a= a
e.       Sifat tertutup. Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat jugaa x b = c ; a, b, c ϵ bilangan bulat.

4.      Pembagian
a.     Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif 
a : b ≠ b : a
(a : b) : c ≠ a : (b : c)
Contoh:
(8 : 2) : 4 ≠ 8 : (2 : 4)  è 1 ≠ 16
b.              Bersifat tidak tertutupJika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat  juga. Contoh: 
6 : 2 = 3    è   bilangan bulat 
       7 : 2 = 3 è bukan bilangan bulat  (bilangan pecahan)

E.    Pengajaran Bilangan Bulat
Pada dasarnya cara mengajarkan bilangan cacah yang telah dipelajari pada bab sebelumnya dapat digunakan untuk mengajarkan bilangan bulat, karena bilangan cacah merupakan bilangan bulat. Hanya saja letak perbedaannya tentang bilangan bulat negatif.Maka pada makalah ini yang menjadi titik focus materi yang dipeajari adalah cara mengajarkan operasi pada bilangan bulat negative atau kombinasi bilangan bulat negative dan bilangan cacah.
1.     Penanaman Konsep Bilangan Bulat
Sebelum menjarkan konsep bilangan bulat, sebaiknya dikenalkan terlebih dahulu konsep bilangan bulat negatif. Konsep bilangan bulat negatif dapat ditanamkan antar lain dengan menggunakan istilah lawan dari.Disini kita menggunakan istilah lawan dari masing-masing bilangan asli atau bilangan bulat positif.
Untuk dapat menanamkan konsep bilangan bulat negatif ini sebaiknya pertama guru bercermah dan memberikan contoh. Guru dapat menyampaikan ceramah singkat misalnya sebagai berikut: “Anak-anak, coba perhatikan. masing-masing bilangan bulat positif mempunyai lawan. Lawan suatu bilangan bulat positif biasanya menggunakan tanda “-“ di depan lambang bilangan bulat positif tersebut. Sebagai contoh lawan dari 1 adalah -1, lawan dari 17 adalah -17.” Setelah ceramah dan pemberian contoh secukupnya serta pengamatan guru menunjukkan para siswa telah memahami materi, maka guru dapat melanjutkan dengan kegiatan tanya jawab. Selanjutnya guru dapat menulis beberapa lambang bilangan positif di papan tulis an meminta siswa secara bergantian menuliskan lambang tersebut secara bergantian.
 Terakhir, jika siswa telah memahami konsep tersebut, maka guru dapat memberikan tugas sebagai latihan untuk dikumpulkan kepada guru. Kegiatan ini ditutup oleh guru engan menyimpulkan bahwa himpunan bilangan bulat negatif adalah {-1, -2, -3, -4, …}.Cara lain yang dapat digunakan oleh guru dalam menanamkan konsep bilangan tersebut adalah dengan menggunakan garis bilangan.

2.     Penanaman Konsep Penjumlahan Bilangan Bulat
Ada beberapa cara untuk menanamkan konsep penjumlahan dua bilangan bulat negatif maupun dua bilangan bulat yang berlaianan tanda. Cara yang dimaksud adalah dengan menggunakan definisi, garis bilangan, dan benda konkret. Untuk mempermudah siswa memahami cara-cara tersebut, para siswa harus lebih dahulu menguasai penjumlahan dan pengurangan bilangan cacah
1)     Menggunakan Benda Konkret
Guru menyiapkan potongan-potongan karton persegi dengan ukuran 2 x 2 cm secukupnya sesuai kebutuhan. Para siswa juga diminta untuk menyiapkan dan membawa ke kelas pada saat pelajaran matematika. Sebagian potongan karton tersebut diberi warna hitam dan sisanya warnamputih atau warna lain sesuai selera masing-masing guru, yang terpenting kedua warna tersebut berlainan warna. Karton berwarna hitam dianggap mewakili bilangan bulat negatif, sedangkan karton berwarna putih dianggap bilangan bulat positif.Beberapa karton persegi tersebut kira-kira berwujud seperti berikut:

                                                                        Warna putih/positif

                                                                       Warna hitam/negatif

Contoh penggunaannya adalah sebagai berikut:
Contoh 1. Misalkan kita ingin menghitung jumlah (-3) + (-5)

Ambilah 3 karton hitam, kemudian ambil lagi 5 karton hitam.Kumpulkan karton-karton tersebut pada satu wadah dan mintalah untuk mencacah banyaknya seluruh karton hitam yang da dalam wadah tersebut.Tentu ada 8 karton hitam. Karena karton hitam menytakan bilangan negatif, maka dapat disimpulkan bahwa (-3) + (-5)= -8


Contoh 2. Hitunglah jumlah 5 + (-3)

Sekarang mintalah siswa untuk mengambil 5 karton putih dan 3 karton hitam. Mintalah siswa untuk memasangkan masing-masing karton hitam dengan satu karton putih sehingga kira-kira seperti ini:

 




Sekarang mintalah kepada siswa untuk mengamati dan mencacah karton yang tidak mempunyai pasangan.Tentu saja ada dua karton putih yang tidak mempunyai pasangan.Hal  ini daapat disimpulkan bahwa  5+ (-3) = 2

2)     Menggunakan Definisi Penjumlahan
Untuk mengajarkan definisi penjumlahan bilangan bulat dengan menggunakan definisi, dapat disajikan contoh sebagai berikut:
Contoh 1. Misalkan kita ingin menghitung jumlah (-4) + (-7). Berdasarkan definisi tersebut tentu diperoleh(-4) + (-7) = - (4+7) = -11
Contoh 2. Hitunglah jumlah 8  + (-7)!Berdasarkan definsi, maka 8 + (-7) = 8-7 = 1

3)     Menggunakan garis bilangan
Kita dapat memikirkan penjumlahan bilangan bulat sebagai suatu gerakan atau perpindahan sepanjang suatu garis bilangan.Suatu garis bilangan bulat positif menggambarkan gerakan kea rah kanan, sedangkan bilangan bulat negatif menggambarkan gerakan ke arah kiri.Titik permulaan selalu dimulai pada titik yang mewakili bilangan 0. Jadi, (-2) + (-3) berarti mulai pada 0, bergerak 2 satuan ke kiri, dan dilanjutkan dengan bergerak 3 satuan ke kiri. Gerakan ini berakhir di titik yang mewakili bilangan -5.Perhatikan gambar di bawah ini.

                                         -2
                    -3
  .       .       .       .       .       .       .        .       .        .       .       .       .       .       . 
-7      -6    -5      -4     -3     -2    -1      0       1       2     3      4      5       6      7


3.     Penanaman Konsep pengurangan pada bilangan bulat
Untuk menanamkann konsep pengurangan pada bilangan bulat kita juga dapat menggunakan karton persegi panjang yang berwarna hitam dan putih seperti halnya pada penjumlahan bilangan bulat. Pengurangan pada bilangan bulat dengan cara ini dapat dilakukan dengan memperhatikan pengertian lawan satu bilangan bulat, sifat n + (-n) = 0, atau mengambil contoh berikut akan mempermudahkan kita untuk memahami konsep pengurangan pada bilangan bulat.
Contoh 1. Carilah (-5) - (-2)
Sediakan 5 karton hitam yaitu                        karena (-5) dikurangi (-2), maka ambillah 2 karton hitam dari 5 karton hitam tersebut. Sisanya tinggal 3 karton hitam yaitu      . Jadi (-5) - (-2) = -3.

Contoh 2. Carilah (-2) – (-5)
 Kita ketahui banwa (-2) dapat dinyatakan dengan           atau                                                                                                 
                 -
Karena kita perlu mencari hasil pengurangan (-2) -  (-5), maka ambil karton hitam dari tumpukan karton terakhir itu. Yang tinggal adalah 3 karton putih yangmewakili bilangan 3 jadi (-2) - (-5) =3.

Contoh 3. Carilah3-5
Kita mengetahui bahwa 3 dapat diwakili oleh                    atau
 


Dari tumpukan terakhir ini kita ambil 5 karton putih, dan tinggal adalah 2 kartonhitam, yang mewakili bilangan -2. Jadi 3 - 5 = -2.
Selain cara diatas, kita juga dapat menggunakan definisi atau sifat penggurangan bilangan bulat. Misalkan kita akan menentukan 8 - (-5). Dalam hal ini, berdasarkan definisi 8 - (-5) = x jika 8 = (-5) + x .Padahal kita ketahui bahwa (-5) + 13 = 8. Jadi x = 13 atau 8 - (-5) = 13. Salah satu sifat pengurangan adalah a – b = a + (-b). Oleh sebab itu, 8 - (-5) = 8 + 5 = 13. Jadi 8 - (-5) = 13.
Menanamkan konsep pengurangan pada bilangan bulat dapat juga dilakukan dengan menggunakan garis bilangan bulat.Penggaris bilangan ini dapat dilakukan dengan memanfaatkan sifat pengurangan bilangan bulat diatas. Garis bilangannya sebagai berikut:




                                                                                    5

                                                -2


-5         -4         -3         -2         -1         0          1          2          3          4          5


4.     Penanaman Konsep perkalian pada bilangan bulat
 Cara yang paling sederhana untuk menanamkan konsep  perkalian pada bilangan bulat adalah menggunakan pola atau model. Misalkan kita ingin mrncari 4 x (-2) caranya sebagai berikut :
4 x 3 = 12
4 x 2 = 8
4 x 1 = 4
4 x 0 =  0
4 x (-1) =  -4
4 x (-2)=  -8
4 x (-3)=  -12

Kita dapat mengamati bahwa faktor pertama dalam perkalian itu adalah 4.Faktor kedua dalam perkalian itu makin kecil, yaitu berkurang satu demi satu.Ternyata hasil kali berkurang empat demi empat. Berdasarkan pola ini maka dapat dipastikan bahwa 4 x (-2) = -8.
Tentu saja dengan menggunakan sifat pertukaran perkalian kita dapat memahami bahwa -3 x 4 = 4x (-3) = -12. Sekarang bagaimana dengan (-3) x (-2) ?Dalam hal ini kita juga dapat menggunakan pola. Perhatikan baik-baik:
(-3) x 3 = -9
(-3) x 2 = -6
(-3) x 1 = -3
(-3) x 0 = 0
(-3) x (-1) = 3
(-3) x (-2) = 6
(-3) x (-3) = 9
(-3) x (-4) = 12
Contoh ini memberikan ilham bahwa :
1)     Hasil kali dua bilangan bulat yang berlawanan tanda sama dengan negatif dari hasil kali memiliki harga mutlak untuk masing-masing bilangan tersebut.
2)     Hasil kali dua bilangan bulat yang bertanda sama adalah positif dari hasil kali harga mutlak masing-masing bilangan tersebut.

5.     Penanaman Konsep Pembagian pada Bilangan Bulat
Penanaman konsep pembagian pada bilangan bulat dapat dilaksanakan dengan menggunakan konsep perkalian bilangan bulat dan definisi pembagian bilangan bulat. Sebagai contoh 8 : (-2) = -4 karena (-2) x (-4) = 8.

Post a Comment for "Bilangan Bulat Lengkap"