Bilangan Bulat Lengkap
A. Sejarah
Bilangan Bulat
Bilangan bulat merupakan bilangan yang
terdiri atas bilangan positif,bilangan nol dan bilangan bulat negatif.Bilangan
positif dan negatif ini mulai dikenal pada zaman Cina kuno .Pada masa itu,
bangsa Cina mempunyai dua jenis warna untuk perhitungan bilangan-bilangan
tersebut, yaitu merah untuk bilangan – bilangan positif dan hitam untuk
bilangan-bilangan negatif. Hingga abad ke-16, bilangan-bilangan negatif jarang
ditemukan diluar Cina.
Sejarah bilangan bulat dapat juga
dimulai dari sejarah bilangan.Sejarah bilangan dimulai dari bilangan
asli.Bilangan asli merupakan bilangan pertama yang dikenal manusia.Hal ini
karena secara alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian
untuk keperluan tertentu mereka harus menghitungnya. Untuk menghitung
benda-benda tersebut bilangan yang digunakan adalah bilangan asli,walaupun
mereka tidak menyadari bahwa bilangan yang mereka gunakan untuk menghitung
bilangan asli. Penamaan bilangan asli dilakukan setelah jaman modern untuk
keperluan ilmu pengetahuan. Notasi himpunan bilangan asli adalah ℕ. Anggota bilangan asli adalah
N={1,2,3,…}.Karena untuk keperluan operasi hitung bilangan asli diperluas
dengan menyertakan 0 sebagai anggota.Perluasan ini dikenal sebagai bilangan
cacah. Pada perkembangan selanjutnya, bilangan cacah pun ternyata tidak dapat
sepenuhnya merepresentasikan obyek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada
orang yang memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada
orang yang memiliki utang. Keadaan pertama dapat ditulis dengan bilangan asli,
sedangkan keadaan kedua bisa ditulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan
keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal
ini akan membawa pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan
bulat.
Bilangan negatif untuk menyatakan
hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan Perluasan bilangan bulat
dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan cacah. Dengan operasi
pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan cacah dikurangkan maka
hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4 = 2 dan 2 masih
merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya dalam bilangan
cacah. Selanjutnya digunakan kebalikan , maka 4 – 6 = -2. Gabungan bilangan
cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk bilangan bulat.
B.
Pengertian
Bilangan Bulat
Pengertian
bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah
dan bilangan negatif.
Bilangan
cacah = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
Bilangan
negatif = -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ....
Jadi
bilangan bulat terdiri dari ... -5, -4,
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Semua
bilangan dapat dikatakan sebagai bilangan
bulat jika bilangan itu tidak ada tanda koma (,) dan pecahan.
Notasi himpunan bilangan
bulat dilambangkan dengan Z (yang berasal dari kata Zahlen,
bahasa Jerman yang artinya bilangan). Sebagai contoh:
Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.
Hubungan bilangan nol,
bilangan asli, bilangan cacah dapat di symbolisasikan difisualisasikan
menggunakan garis bilangan.
Ilustrasi
Bilangan
bulat positif berada di sebelah kanan titik nol dan bilangan bulat negatif
berada disebelah kiri nol.
Dari
gambar di atas kamu akan menemukan bahwa semakin ke kanan, bilangan bulat pada
garis bilangan tersebut semakin besar, sebaliknya semakin ke kiri, bilangan
bulat pada garis bilangan semakin kecil. Misalnya:
·
-2 terletak di sebelah kiri 0 sehingga -2 < 0;
·
0 terletak di sebelah kanan -1 sehingga 0 > -1;
·
-5 terletak di sebelah kiri -3 sehingga -5 < -3;
·
-4 terletak di sebelah kanan -6 sehingga -4 > -6.
Setiap
bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan bilangan bulat
Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan
menghasilkan nilai nol.
a + (-a) = 0
Misalnya :
·
Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 0
·
Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 0
·
Lawan dari -2 adalah 2, sebab -2 + 2 = 0
·
Lawan dari 3 adalah -3, sebab 3 + (-3) = 0
C.
Operasi
Pada Bilangan Bulat
Seperti
halnya pada bilangan cacah, ada 4 macam operasi utama yang berlaku pada
bilangan bulat.Operasi yang dimaksud adalah penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan pembagian.Keempat operasi pada bilangan bulat ini sangat erat
hubungannya dengan operasi pada bilangan cacah.Oleh sebab itu, maka dituntut
untuk memahami keempat bilangan bulat.
1.
Operasi Penjumlahan
Penjumlahan Bilangan Bulat
a.
Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat
positif
Penjumlahan
bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif selalu menghasilkan
bilangan positif.Contohnya: 2 + 5= 7
b.
Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat
negatif
Penjumlahan
bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif akan menghasilkan:
1)
Bilangan bulat negatif, jika angka bilangan
bulatt negatif lebih besar daripada angka bilangan bulat positif.Contoh:3 + (-5)= -2
Catatan: + x - = -
2)
Bilangan nol, jika angka bilangan bulat
positif sama dengan angka bilanganbulat negatif.
3)
Bilangan bulat positif, jika angka bilangan
bulat positif lebih besar daripadaangka bilangan negatif. Contoh: 4 + (-2)= 2
c.
Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif
Contoh: -5 + 2 = -3
d.
Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negative
Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat
negatif selalumenghasilkan bilangan bulat negatif.Contoh: -3 + (-2)= -5
2.
Pengurangan Bilangan Bulat
a.
Pengurangan bilangan bulat
positif dengan positif
Pengurangan bilangan
bulat positif dengan bilangan bulat positif akanmenghasilkan:
1)
Bilangan bulat positif, jika angka bilangan
yang dikurangi lebih besar daripada angka yang mengurangi.Contoh:
5 – 3= 2
2)
Bilangan nol, jika angka bilangan yang
dikurangi sama dengan angkabilangan yang mengurangi.Contoh:
3 – 3= 0
3)
Bilangan bulat negatif, jika angka bilangan
yang mengurangi lebih besardaripada bilangan yang dikurangi.Contoh:
2 –5= -3
b.
Pengurangan bilangan bulat negatif dengan negatif
Pengurangan
bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif akan menghasilkan:
1)
Bilangan bulat positif, jika angka bilangan
yang mengurangi lebih besardaripada angka bilangan yang dikurangi.
Contoh:-2 – (-4) = 2
2)
Bilangan nol, jika angka bilangan yang
dikurangi sama dengan angkabilangan yang mengurangi.Contoh:-3 – (-3) = 0
3)
Bilangan bulat negatif, jika angka bilangan
yang dikurangi lebih besardaripada angka bilangan yang mengurangi.Contoh:-5 –(2) = -3
c.
Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif
Contoh: -5 – 6 = -11
d.
Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat
negatif
Pengurangan bilangan bulat positif dengan
bilangan bulat negatif akan selalumenghasilkan bilangan bulat negatif. Contoh:-3 –5= -8
3.
Perkalian Bilangan Bulat
a. Perkalian bilangan bulat
positif dengan bilangan bulat positif
Perkalian bilangan bulat positif dengan
bilangan bulat positif akan selalu
menghasilkan bilangan bulat positif. a x b = ab
Contoh:7 x 6 = 6 x 7 = 42.
b. Perkalian bilangan bulat
positif dengan bilangan bulat negatif
Perkalian
bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif akan
selalumenghasilkan bilangan bulat negatif. a x (-b) = -ab
Contoh:-4 x 3 = -12
c. Perkalian bilangan bulat
negatif dengan bilangan bulat negatif
Perkalian
bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif akan selalumenghasilkan bilangan bulat positif. -a x (-b) = ab
Contoh:-4 x (-5) = 20
4.
Pembagian Bilangan Bulat
a.
Pembagian bilangan
bulat positif dengan bilangan bulat positif
Pembagian
bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif akan selalu menghasilkan bilangan bulat positif.Contoh: 8 : 2 = 4
b.
Pembagian bilangan bulat
negatif dengan bilangan bulat negatif
Pembagian
bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif akan selalumenghasilkan
bilangan bulat negatif.Contoh:-10 : -5 = 2
c.
Pembagian bilangan bulat
positif dengan bilangan bulat negatif
Pembagian
bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif akan selalumenghasilkan
bilangan bulat negatif.Contoh: 6 : -2 = -3
d.
Pembagian bilangan bulat
dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi
a : 0 tidak terdefinisi (~)0 : a 0 (nol)
Contoh: 5 : 0 = ~ (tidak terdefinisi)
D. Sifat-sifat
Operasi Bilangan Bulat
1. Penjumlahan
a.
Sifat Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c)Contoh:(5
+ 3) + 4 = 5 + (3 + 4)
b.
Sifat Komutatif a + b = b + aContoh7
+ 2 = 2 + 7 = 9
c.
Unsur identitas terhadap penjumlahan a + 0 = 0 + aContoh:6 + 0 = 0 + 6
d.
Unsur invers terhadap penjumlahan a + (-a) = -a + aContoh:5
+ (-5) = -5 + 5 = 0
e.
Bersifat tertutup
Apabila dua buah bilangan ditambahkan
maka hasilnya adalah bilangan bulat juga.
a dan b ϵ bilangan
bulat maka a + b = c ; c ϵ bilangan
bulat contoh: 4 + 5 = 9 ; 4,5,9 ϵ bilangan
bulat.
2. Pengurangan
a.
Sifat komutatif dan asosiatif tidak berlaku
a – b ≠ b – a
contoh: 7 – 3 ≠ 3 - 7
b.
Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat
a – 0 = a dan 0–
a = -a
c.
Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah
bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalahbilangan bulat juga.
a dan b ϵ bilangan
bulat, maka a –b = c ; c ϵ
bilangan bulat
contoh: 7 – 8 = -1 ; 7,8, -1 ϵ bilangan bulat
3.
Perkalian
a.
Bersifat asosiatif (a x b) x c = a x (b
x c) Contoh: (2 x 3) x 4 =2 x (3 x 4) =
24
b.
Sifat komutatif a x b = b x aContoh: 5 x 4 = 4 x 5 = 20
c.
Sifat distributive A x (b + c) = (a x b) + (a
x c) Contoh: 3 x (2 + 6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24
d.
Unsur identitas untuk perkalian
·
Hasil perkalian bilangan bulat dengan nol
hasilnya adalah bilangan nol
a x 0 = 0
·
Hasil perkalian bilangan bulat dengan 1
hasilnya bilangan itu juga
a x 1 = 1 x a= a
e.
Sifat tertutup. Jika dua bilangan bulat
dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat jugaa x b = c ; a, b, c
ϵ bilangan bulat.
4.
Pembagian
a. Tidak
berlaku sifat komutatif dan asosiatif
a : b ≠ b : a
(a : b) : c ≠ a
: (b : c)
Contoh:
(8 : 2) : 4 ≠ 8 : (2 : 4)
è 1 ≠ 16
b.
Bersifat tidak tertutupJika dua bilangan
bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga. Contoh:
6 : 2 = 3 è bilangan bulat
7 : 2 = 3 è bukan
bilangan bulat (bilangan pecahan)
E.
Pengajaran
Bilangan Bulat
Pada
dasarnya cara mengajarkan bilangan cacah yang telah dipelajari pada bab sebelumnya
dapat digunakan untuk mengajarkan bilangan bulat, karena bilangan cacah merupakan
bilangan bulat. Hanya saja letak perbedaannya tentang bilangan bulat negatif.Maka
pada makalah ini yang menjadi titik focus materi yang dipeajari adalah cara mengajarkan
operasi pada bilangan bulat negative atau kombinasi bilangan bulat negative dan
bilangan cacah.
1.
Penanaman Konsep Bilangan Bulat
Sebelum
menjarkan konsep bilangan bulat, sebaiknya dikenalkan terlebih dahulu konsep
bilangan bulat negatif. Konsep bilangan bulat negatif dapat ditanamkan antar
lain dengan menggunakan istilah lawan
dari.Disini kita menggunakan istilah lawan
dari masing-masing bilangan asli atau bilangan bulat positif.
Untuk
dapat menanamkan konsep bilangan bulat negatif ini sebaiknya pertama guru
bercermah dan memberikan contoh. Guru dapat menyampaikan ceramah singkat misalnya
sebagai berikut: “Anak-anak, coba perhatikan. masing-masing bilangan bulat
positif mempunyai lawan. Lawan suatu bilangan bulat positif biasanya
menggunakan tanda “-“ di depan lambang bilangan bulat positif tersebut. Sebagai
contoh lawan dari 1 adalah -1, lawan dari 17 adalah -17.” Setelah ceramah dan
pemberian contoh secukupnya serta pengamatan guru menunjukkan para siswa telah
memahami materi, maka guru dapat melanjutkan dengan kegiatan tanya jawab.
Selanjutnya guru dapat menulis beberapa lambang bilangan positif di papan tulis
an meminta siswa secara bergantian menuliskan lambang tersebut secara
bergantian.
Terakhir, jika siswa telah memahami konsep
tersebut, maka guru dapat memberikan tugas sebagai latihan untuk dikumpulkan
kepada guru. Kegiatan ini ditutup oleh guru engan menyimpulkan bahwa himpunan
bilangan bulat negatif adalah {-1, -2, -3, -4, …}.Cara lain yang dapat
digunakan oleh guru dalam menanamkan konsep bilangan tersebut adalah dengan
menggunakan garis bilangan.
2.
Penanaman Konsep Penjumlahan Bilangan
Bulat
Ada
beberapa cara untuk menanamkan konsep penjumlahan dua bilangan bulat negatif
maupun dua bilangan bulat yang berlaianan tanda. Cara yang dimaksud adalah
dengan menggunakan definisi, garis bilangan, dan benda konkret. Untuk
mempermudah siswa memahami cara-cara tersebut, para siswa harus lebih dahulu
menguasai penjumlahan dan pengurangan bilangan cacah
1)
Menggunakan Benda Konkret
Guru
menyiapkan potongan-potongan karton persegi dengan ukuran 2 x 2 cm secukupnya
sesuai kebutuhan. Para siswa juga diminta untuk menyiapkan dan membawa ke kelas
pada saat pelajaran matematika. Sebagian potongan karton tersebut diberi warna
hitam dan sisanya warnamputih atau warna lain sesuai selera masing-masing guru,
yang terpenting kedua warna tersebut berlainan warna. Karton berwarna hitam
dianggap mewakili bilangan bulat negatif, sedangkan karton berwarna putih
dianggap bilangan bulat positif.Beberapa karton persegi tersebut kira-kira
berwujud seperti berikut:
Warna hitam/negatif
Contoh
penggunaannya adalah sebagai berikut:
Contoh 1. Misalkan kita ingin
menghitung jumlah (-3) + (-5)
Ambilah
3 karton hitam, kemudian ambil lagi 5 karton hitam.Kumpulkan karton-karton
tersebut pada satu wadah dan mintalah untuk mencacah banyaknya seluruh karton
hitam yang da dalam wadah tersebut.Tentu ada 8 karton hitam. Karena karton
hitam menytakan bilangan negatif, maka dapat disimpulkan bahwa (-3) + (-5)= -8
Contoh 2. Hitunglah jumlah 5 + (-3)
Sekarang
mintalah siswa untuk mengambil 5 karton putih dan 3 karton hitam. Mintalah
siswa untuk memasangkan masing-masing karton hitam dengan satu karton putih
sehingga kira-kira seperti ini:
Sekarang mintalah kepada siswa untuk mengamati
dan mencacah karton yang tidak mempunyai pasangan.Tentu saja ada dua karton
putih yang tidak mempunyai pasangan.Hal
ini daapat disimpulkan bahwa 5+
(-3) = 2
2)
Menggunakan Definisi Penjumlahan
Untuk
mengajarkan definisi penjumlahan bilangan bulat dengan menggunakan definisi,
dapat disajikan contoh sebagai berikut:
Contoh
1. Misalkan kita ingin menghitung jumlah (-4) + (-7). Berdasarkan definisi tersebut tentu
diperoleh(-4) + (-7) = - (4+7) = -11
Contoh
2. Hitunglah jumlah 8 + (-7)!Berdasarkan
definsi, maka 8 + (-7) = 8-7 = 1
3)
Menggunakan garis bilangan
Kita
dapat memikirkan penjumlahan bilangan bulat sebagai suatu gerakan atau
perpindahan sepanjang suatu garis bilangan.Suatu garis bilangan bulat positif
menggambarkan gerakan kea rah kanan, sedangkan bilangan bulat negatif
menggambarkan gerakan ke arah kiri.Titik permulaan selalu dimulai pada titik
yang mewakili bilangan 0. Jadi, (-2) + (-3) berarti mulai pada 0, bergerak 2
satuan ke kiri, dan dilanjutkan dengan bergerak 3 satuan ke kiri. Gerakan ini
berakhir di titik yang mewakili bilangan -5.Perhatikan gambar di bawah ini.
-7 -6 -5
-4 -3 -2
-1 0 1
2 3 4
5 6 7
3.
Penanaman Konsep pengurangan pada bilangan
bulat
Contoh
1. Carilah (-5) - (-2)
Contoh
2. Carilah (-2) – (-5)
Karena kita perlu mencari hasil
pengurangan (-2) - (-5), maka ambil
karton hitam dari tumpukan karton terakhir itu. Yang tinggal adalah 3 karton
putih yangmewakili bilangan 3 jadi (-2) - (-5) =3.
Contoh 3. Carilah3-5
Dari tumpukan terakhir ini kita ambil
5 karton putih, dan tinggal adalah 2 kartonhitam, yang mewakili bilangan -2.
Jadi 3 - 5 = -2.
Selain cara diatas, kita juga dapat
menggunakan definisi atau sifat penggurangan bilangan bulat. Misalkan kita akan
menentukan 8 - (-5). Dalam hal ini, berdasarkan definisi 8 - (-5) = x jika 8 =
(-5) + x .Padahal kita ketahui bahwa (-5) + 13 = 8. Jadi x = 13 atau 8 - (-5) =
13. Salah satu sifat pengurangan adalah a – b = a + (-b). Oleh sebab itu, 8 -
(-5) = 8 + 5 = 13. Jadi 8 - (-5) = 13.
Menanamkan konsep pengurangan pada
bilangan bulat dapat juga dilakukan dengan menggunakan garis bilangan
bulat.Penggaris bilangan ini dapat dilakukan dengan memanfaatkan sifat
pengurangan bilangan bulat diatas. Garis bilangannya sebagai berikut:
5
-2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
4.
Penanaman Konsep perkalian pada bilangan
bulat
Cara yang paling sederhana untuk menanamkan
konsep perkalian pada bilangan bulat
adalah menggunakan pola atau model. Misalkan kita ingin mrncari 4 x (-2)
caranya sebagai berikut :
4
x 3 = 12
4
x 2 = 8
4
x 1 = 4
4
x 0 = 0
4
x (-1) = -4
4
x (-2)= -8
4
x (-3)= -12
Kita
dapat mengamati bahwa faktor pertama dalam perkalian itu adalah 4.Faktor kedua
dalam perkalian itu makin kecil, yaitu berkurang satu demi satu.Ternyata hasil
kali berkurang empat demi empat. Berdasarkan pola ini maka dapat dipastikan
bahwa 4 x (-2) = -8.
Tentu
saja dengan menggunakan sifat pertukaran perkalian kita dapat memahami bahwa -3
x 4 = 4x (-3) = -12. Sekarang bagaimana dengan (-3) x (-2) ?Dalam hal ini kita
juga dapat menggunakan pola. Perhatikan baik-baik:
(-3)
x 3 = -9
(-3)
x 2 = -6
(-3)
x 1 = -3
(-3)
x 0 = 0
(-3)
x (-1) = 3
(-3)
x (-2) = 6
(-3)
x (-3) = 9
(-3)
x (-4) = 12
Contoh
ini memberikan ilham bahwa :
1)
Hasil kali dua bilangan bulat yang
berlawanan tanda sama dengan negatif dari hasil kali memiliki harga mutlak
untuk masing-masing bilangan tersebut.
2)
Hasil kali dua bilangan bulat yang
bertanda sama adalah positif dari hasil kali harga mutlak masing-masing
bilangan tersebut.
5.
Penanaman Konsep Pembagian pada Bilangan
Bulat
Penanaman
konsep pembagian pada bilangan bulat dapat dilaksanakan dengan menggunakan
konsep perkalian bilangan bulat dan definisi pembagian bilangan bulat. Sebagai
contoh 8 : (-2) = -4 karena (-2) x (-4) = 8.